Quella che sto per scrivere è l’affascinante storia che lega l’uncinetto al mondo scientifico ed in particolare alla matematica. Non avrei mai pensato che i miei studi scientifici di Liceo avrebbero potuto legarsi alla mia passione per il crochet. Ed ecco che, invece, ho incontrato, in rete, l’esperienza di Daina Taimina, una studiosa matematica lituana che, con i suoi modelli realizzati all’uncinetto, è riuscita a spiegare ai suoi studenti il difficile concetto di piano iperbolico, concretizzandolo con un modello in tre dimensioni.

Daina riferisce nel suo bellissimo libro (Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes) come è arrivata ad utilizzare l’uncinetto per realizzare il suo modello di piano iperbolico.

Per capire i suoi ragionamenti e la portata della sua opera è utile una piccola premessa sulla geometria iperbolica.

Definiamo, intanto il concetto di curvatura nulla, positiva o negativa di una superficie.

(Ci viene in aiuto il Prof. Lazzarini che nel suo utilissimo blog ci dà spiegazioni molto intuitive, che qui sotto riporto per intero).

L’idea è quella di “schiacciare” la superfice sul piano. Quando cerchiamo di “appiattire” una superficie curva si danno tre possibilità:

• Riusciamo ad appiattire la superfice, senza operare lacerazioni o sovrapposizioni. Diremo in questo caso che la superfice ha curvatura nulla (cioè in tutti punti della superficie la curvatura è nulla). Ad esempio qualsiasi regione di superfice cilindrica può essere resa perfettamente piatta ed ha quindi curvatura zero. Riflettete sul fatto che una superfice cilindrica può ottenersi arrotolando un foglio di carta. Può dispiacere ma le cose stanno proprio così: esistono delle superfici che siamo abituati a considerare curve ma che, tecnicamente, vanno considerate prive di curvatura.

• Non riusciano ad appiattire la superfice, perchè dovremmo operare delle lacerazioni. E’ quello che accade, ad esempio, con una regione di superficie sferica; possiamo pensare, affidandoci all’intuizione, che in questo caso ci sia “meno superficie” di quanto ne serva per essere appiattita. In questo caso diremo che la superficie ha curvatura positiva.

  Nella fotografia seguente vedete un pallone che è stato tagliato a metà, lungo una circonferenza massima. Provate ad appiattirlo: non ci riuscirete.

  

  L’unico modo è quello di operare dei tagli radiali come vedete nella fotografia seguente (maggiore è il numero dei tagli, maggiore sarà l’aderenza al piano).

  

  Come vedete tra un taglio e l’altro della superficie si vengono a creare degli spazi che corrispondono a superficie mancante.

• Non riusciano ad appiattire la superfice, perchè dovremmo operare delle sovrapposizioni. E’ quello che accade, ad esempio, con una regione di superficie a forma di sella; possiamo pensare, affidandoci di nuovo all’intuizione, che in questo caso ci sia “più superficie” di quanta possa stare nel piano. In questo caso diremo che la superficie ha curvatura negativa.

  Nella fotografia seguente vedete una superficie a sella.

  

  Potete ottenerla facilmente procedendo in questo modo. Disegnate su un foglio di carta un cerchio e un settore circolare con lo stesso raggio del cerchio e un’ampiezza, diciamo, di 60 gradi (vedi figura seguente). Ritagliate il cerchio e il settore. Tagliate il cerchio lungo un suo raggio in modo che presenti una fessura. Inserite nella fessura il settore e fissatelo ai bordi della fessura con del nastro adesivo trasparente. Naturalmente questa operazione di inserimento non è possibile se si rimane nel piano (stiamo pretendendo di inserire altri 60 gradi in un angolo giro); ma potremo farlo se lascieremo flettere la superficie nella terza dimensione. Otterrete così una superficie a sella (è opportuno applicare del nastro anche sull’altra faccia della superficie). La realizzazione di questo modello è molto istruttiva: vi siete resi conto che una sella invade “più superficie” di quanta possa stare nel piano.

  

  Ora provate ad appiattire la vostra sella sul piano, ad esempio appoggiandoci sopra un libro: vi renderete conto che si formano delle pieghe, delle sovrapposizioni, come vedete nella fotografia seguente.

  

Rieman nel 1854 dà questa definizione:  “La Geometria Iperbolica può essere considerata la geometria intrinseca di una superficie con curvatura costantemente negativa che si estende indefinitamente in tutte le direzioni”. Su questo assunto si basa tutta la ricerca dei matematici che negli anni si sono dedicati a trovare la superficie iperbolica completa. Infatti, mentre è possibile trovare in natura esempi di superfici costantemente negative

Tali superfici, purtroppo, non hanno la caratteristica di estendersi all’infinito. I matematici per molto tempo, dunque, asserirono, che non era possibile ottenere nello spazio a tre dimensioni euclideo, una superficie completa di un piano iperbolico (una superficie con curvatura costante negativa estesa all’infinito).

Nel 1954 Kuiper (un matematico tedesco) ipotizzò che una tale superficie potesse esistere, ma non spiegò come la si potesse costruire. Fu William Thurston nel 1970 ad avere l’idea di utilizzare strisce di carta (definite “anuli”) per descrivere un piano iperbolico nello spazio tridimensionale.

Taimina, nel suo libro spiega come realizzare il modello di carta con gli “anuli” , come descritto nella foto sopra.

Dal modello in carta Daina fu ispirata per realizzare il suo modello ad uncinetto; studiando gli anuli di carta, infatti, ella capì che, lavorando in modo da aumentare il numero di maglie in modo costante da una riga all’altra, e seguendo una definita proporzionalità, si otteneva un piano iperbolico sotto forma di modello ad uncinetto.

Il concetto è semplice e rivoluzionario al tempo stesso, perchè attraverso l’uso di una tecnica casalinga e alla portata di tutti, come l’uncinetto, si riesce a realizzare un modello tridimensionale che era stato considerato dagli studiosi irrealizzabile.

Chiunque sappia usare il crochet può farsi a casa un oggetto iperbolico. Ho trovato le spiegazioni in inglese qui, in un pdf scaricabile, ma altrettanto utile è la traduzione in italiano dei punti usati descritta in questo post della mia amica Cosmosicula (che ringrazio per l’ispirazione su questo meraviglioso argomento che è  l’uncinetto iperbolico).

Questi bellissimi modelli ricordano molto da vicino le forme naturali di funghi, coralli nudibranchi etc.

Ovviamentemi mi sono cimentata nell’esecuzione all’uncinetto di alcune di queste forme ed ho ottenuto questi risultati:

Nel libro di Daina ci sono moltissime immagini e si trovano tanti spunti sulle proprietà caratteristiche di un piano iperbolico che possono essere verificate attraverso i modelli all’uncinetto; ho intenzione di scrivere altri post su questo argomento che trovo così affascinante.

Inoltre fra qualche giorno vi potrò mostrare anche altre mie realizzazioni con l’uncinetto iperbolico che, ne sono certa, ispireranno i vostri futuri lavori, così come è stato per il nastro di Moebius.

Alcune immagini e informazioni di questo post sono tratte da: Il sito del prof. Lazzarini ed il sito di Daina Taimina

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